Kamis, 16 Desember 2010

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

(jika anda ingin men-download file secara utuh klik disini)

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Dalam era informasi dan era globalisasi dewasa ini yang diwarnai oleh persaingan yang ketat dalam penguasaan ilmu pengetahuan dan teknologi (IPTEK), sangat membutuhkan manusia-manusia cerdas, terampil dan profesional yang sanggup menguasai sains dan teknologi. Soedjadi (1994 : 1) mengemukakan bahwa untuk menghadapi abad 21 diperkirakan akan diwarnai oleh persaingan, bangsa Indonesia mutlak perlu memiliki warga yang bermutu dan berkualitas tinggi.Dalam upaya pengembangan kualitas manusia Indonesia, patokan minimal yang harus dicapai adalah tumbuhnya kemampuan berpikir logis dan sikap kemandirian dalam diri peserta didik. Untuk itu, sistem pembelajaran yang mengutamakan matematika dan ilmu pengetahuan lainnya menjadi prasyarat bagi proses pendidikan untuk membentuk manusia Indonesia yang mampu menghadapi dan mengantisipasi tantangan di masa yang akan datang (Semiawan, 1991 : 35).

Upaya pemerintah dengan dikeluarkannya Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 22 Tahun 2006 tentang standar isi untuk satuan pendidikan dasar dan menengah dan Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 23 tahun 2006 tentang standar kompetensi lulusan untuk satuan pendidikan dan menengah serta Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP) yang dilaksanakan mulai tahun 2006/2007 melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 24 tahun 2006 merupakan langkah strategis untuk menjawab kelemahan-kelemahan pembelajaran (Muslich, 2007:12).

OLeh Karena itu guru harus memiliki wawasan yang luas khususnya materi-materi yang diajarkan kepada siswa sehingga guru juga mampu mengetahui batasan-batasan materi yang dipelajari di setiap jenjang pendidikan selain guru dapat memiliki wawasan luas juga sebagai apersepsi proses pembelajaran di kelas.

Sedangkan dalam observasi qadri pada beberapa guru matematika di SMA Negeri 3 Sungguminasa dan SMK Kesehatan Terpadu Mega Rezky Makassar mempertanyakan seperti apa sebenarnya batasan-batasan materi yang diajarkan disetiap jenjang pendidikan khususnya materi tentang Sistem Persamaan Linier.

B. Rumusan Masalah

Bersdasarkan latar belakang diatas maka rumusan masalahnya adalah “Bagaimana batasan-batasan materi Sistem Persamaan Linier yang diajarkan pada jenjang Perguruan Tinggi, Sekolah Menengah Atas, Sekolah Menengah Pertama, dan Sekolah Dasar”.

C. Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan makalah ini adalah mendeskripsikan batasan-batasan materi Sistem Persamaan Linier yang diajarkan pada jenjang Perguruan Tinggi, Sekolah Menengah Atas, Sekolah Menengah Pertama, dan Sekolah Dasar”.

D. Manfaat Penulisan

Manfaat yang diharapkan dari penulisan makalah ini adalah diperolehnya informasi atau masukan tentang materi Sistem Persamaan Linier yang diajarkan pada jenjang Perguruan Tinggi, Sekolah Menengah Atas, Sekolah Menengah Pertama, dan Sekolah Dasar”.


PEMBAHASAN

A. Sistem Persamaan Linier Pada Tingkat Perguruan Tinggi

SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)

2.1 Persamaan Linier (PL)

Definisi 2.1.1 Persamaan Linier dengan n variabel x1, x2, …, xn adalah suatu persamaan yang berbentuk

a1 x1 + a2 x2 + … + an xn = b,

dengan a1, a2, …, an, b bilangan riil.

Dalam suatu persamaan linier, variabel yang digunakan berderajat nol atau satu, variabel bukan fungsi trigonometri dan tidak terjadi perkalian antara variabelnya.

Contoh :

1. 2 x + 3y - 6z = 9 adalah suatu persamaan linier dengan 3 variabel,

2. x1 + 3x2 + 2x3 + 8x4 + 4= 0 adalah suatu persamaan linier dengan 4 variabel.

3. 6x2 + 2y – 3z = 1, bukan persamaan linier sebab memuat variable berpangkat 2

4. 2 sin x – 3 cos x + 4 y = 5, bukan persamaan linier sebab memuat fungsi trigonometrik

5. 6xy + 3y + z = 7 bukan persamaan linier sebab memuat hasl kali dua variable.

Definisi 2.1.2 Selesaian (solusi) dari persamaan linier a1 x1 + a2 x2 + … + an xn = b adalah pasangan n-bilangan terurut (s1, s2, …, sn) yang jika s1 disubstitusikan ke x1, s2 disub-stitusikan ke x2, …, sn disubstitusikan ke xn maka berlaku

a1 s1 + a2 s2 + … + an sn = b

Himpunan semua solusi dari persamaan linier a1 x1 + a2 x2 + … + an xn = b disebut Himpunan Solisi (HS).

Contoh :

1. Persamaan 3x + 7 = 0, untuk x bilangan bulat. Maka tidak terdapat x bilangan bulat yang memenuhi persamaan linier tersebut. Jadi, himpunan solusinya (HS) adalah himpunan kosong. Ditulis HS = { }

2. Himpunan Solusi dari persamaan linier 2x = 8 adalah HS = {4}.

3. Himpunan Solusi dari persamaan linier 2x + 3y + z = 7 adalah HS = {(s, t, 7-2s+3t/ s, t R}.

4. Proses penyelesaian : Dalam HS dari persamaan linier ini, terdapat dua variable bebas, yaitu variable x dan y. Untuk menentukan nilai variable z, dapat ditentukan dengan mensubstitusikan variable x dan y ke persamaan. Hasil perhitungan diperoleh nilai z = 7-2s-3t. Jadi, HS = {(s, t, 7-2s-3t ) / s, t R }.

2.2 Sistem Persamaan Linier (SPL)

Definisi 2.2.1 Sistem Persamaan Linier (SPL) dengan n variabel x1,

x2, …, xn dan m persa-maan adalah suatu sistem persamaan yang

berbentuk

a11 x1 + a12 x2 + … a1j xj + … + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + … a2j xj + … + a2n xn = b2

. . . . . . . . **(1)

am1 x1 + am2 x2 + … amj xj + … + amn xn = bm

dengan aij R,I=1,2, …, m dan j=I,2, … , n.

Definisi 2.2.2 Selesaian (solusi) dari System Persamaan Llinier (**) adalah pasangan n-bilangan terurut (s1, s2, …, sn) yang jika s1 disubstitusikan ke x1, s2 disubstitusikan ke x2, …, sn disubstitusikan ke xn maka berlaku ai1 s1 + ai2 s2 + … + ain sn = bi, i=1,2, …, m

Secara lengkap, jika (s1, s2, …, sn) dari SPL (**) maka (s1, s2, …, sn) merupakan solusi dari setiap persamaan dalam SPL (**). Artinya berlaku

a11 s1 + a12 s2 + … a1j sj + … + a1n sn = b1

a21 s1 + a22 s2 + … a2j sj + … + a2n sn = b2

. . . . . . . .

am1 s1 + am2 s2 + … amj sj + … + amn sn = bm

Himpunan semua selesaian dari Sistem Persamaan Linier (**) disebut Himpunan Solusi

Notasinya HS Sistem Persamaan Linier yang mempunyai selesaian disebut

Konsisten dan Sistem yang tidak mempunyai selesaian disebut tidak konsisten

Untuk melihat tafsiran geometri dari selesaian suatu SPL, diberikan SPL dengan 2 persamaan dan 2 variabel, sebagai berikut :

a1 x + b1 y = c1

a2 x + b2 y = c2,

dengan a1, a2, b1 dan b2 konstanta riil tidak nol.

Grafik persamaan-persamaan ini merupakan garis, misal garis l1 dan garis l2. Karena titik (x,y) terletak pada sebuah garis jika dan hanya jika bilangan-bilangan x dan y memenuhi persamaan tersebut, maka selesaian SPL tersebut akan bersesuaian dengan titik perpotongan dari garis l1 dan garis l2. Terdapat 3 (tiga) kemungkinan, yaitu :

(a) garis l1 dan garis l2 sejajar, yaitu jika tidak terdapat titik perpotongan sehingga sistem tidak mempunyai selesaian

(b) garis l1 dan garis l2 berpotongan pada satu titik, sehingga system hanya mempunyai satu (tunggal) selesaian.

(c) garis l1 dan garis l2 berimpit artinya terdapat takterhingga banyak titik perpotongan. Dalam hal ini sistem mempunyai takterhingga banyak selesaian. Biasa dikatakan SPL mempunyai banyak solusi.

Secara visual dapat digambarkan, sebagai berikut :

Berdasarkan ilustrasi kasus di atas, maka SPL mempunyai tiga kemungkinan yang berkaitan dengan selesaian, yaitu tidak mempunyai selesaian, mempunyai satu selesaian dan mempunyai takterhingga banyak selesaian.

Metode Penyelesaian SPL dengan Operasi Baris Elementer (OBE) atau Metode Eliminasi Gauss

1. Operasi Baris Elementer (OBE)

SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk sederhana sehingga tercapai 1 elemen tak nol pada suatu baris

2. Metode Eliminasi Gauss-Jordan

Ide pada metoda eliminasi Gauss-jordan adalah mengubah matriks ke dalam bentuk echelon-baris tereduksi

Contoh :



Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3

B. Sistem Persamaan Linier Pada Tingkat Sekolah Menengah Atas

Persamaan Linier pada tingkat Sekolah Menengah Atas membahas persamaan linier hanya sampai pada Persamaan Linier Tiga Variabel Dengan Metode Eliminasi dan Subsitusi

Contoh :

Selesaikan sistem persamaan linear berbentuk

x – 2y + z = 2

2x + y + 2z = 1

-x + y + z = 2

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tersebut dilakukan dengan menggunakan Metode eliminasi dan subsitusi

x – 2y + z = 2 dikalikan 2 diperoleh 2x – 4y + 2z = 4

2x + y + 2z = 1 dikalikan 1 diperoleh 2x + y + 2z = 1 -

- 5y = 3

atau y = -3/5

x – 2y + z = 2 dikalikan 1 diperoleh x – 2y + z = 2

-x + y + z = 2 dikalikan 1 diperoleh -x + y + z = 2 +

- y + 2z = 4

dilakukan subtitusi nilai y pada persamaan tersebut diperoleh

-(-3/5) + 2z = 4 atau z = , subtitusikan pada persamaan -x+ y + z = 2

diperoleh

-x + (- ) + = 2 atau x =

Jadi, Himpunan penyelesaiannya { }

C. Sistem Persamaan Linier Pada Tingkat Sekolah Menengah Pertama

1. Sistem Persamaan Linier Satu Vriabel

Persamaan linear satu variabel dapat dinyatakan dalam bentuk ax = b atau ax + b = c dengan a, b, dan c adalah konstanta, a 0, dan x variabel pada suatu himpunan

Menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linier satu variabel

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut.

a. 3x + 1 = 4; x B (B himpunan bilangan bulat)

b. 2y + 5 = –3y + 7; x Q (Q himpunan bilangan rasional)

Penyelesaian:

a. 3x + 1 = 4

3x = 4 -1

3x = 3

x = 1

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {1}

b. 2y + 5 = –3y + 7

2y = -3y + 7 – 5

2y = -3y + 2

2y + 3y = 2

5y =2

y =

jadi himpunan penyelesaiannya adalah { }

2. Sistem Persamaan Linier Dua Vriabel

Persamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk ax + by = c dengan a, b, c R, a, b 0, dan x, y suatu variabel.

Menentukan Himpunan Penyelesaian dengan Metode Eliminasi dan Subsitusi

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – 5y = 2 dan x + 5y = 6, jika x, y R.

Penyelesaian :

Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi, diperoleh

2x – 5y = 2 x1 2x - 5y = 2

x + 5 = 6 x2 2x + 10y =12

-5y = -10

y =

Selanjutnya Subsitusikan nilai y ke persamaan x +5y = 6 sehingga diperoleh

x + 5y = 6

x + 5 ( )= 6

x + = 6

x = 6 -

x =

Jadi, Himpunan penyelesaian dari persamaan 2x – 5y =2 dan x + 5y = 6 adalah

D. Sistem Persamaan Linier Pada Tingkat Sekolah Dasar

Secara tersurat materi Sistem Persamaan Linier pada tingkat SD belum diperoleh siswa namun secara tidak langsung , Sistem Persamaan Linier pada tingkat sekolah dasar diperoleh siswa melalui materi penjumlahan, pengurangan, perkalian ataupun pembagian, seperti permasalahan sebagai berikut ini:

Lengkapilah Soal berikut ini !

1) 2 x = 6 ( 2 kali berapa sama dengan 6)

2) x 5 = 10 ( Berapa dikali 5 sama dengan 10)

3) 3 x … = 12 (3 dikali berapa sama dengan 12)

3

Penyelesaian :

1)

2

2 x = 6

2) x 5 = 10

3)

4

3 x = 12


KESIMPULAN

Sistem Persamaan Linier pada jenjang perguruan tinggi adalah Sistem Persamaan Linier (SPL) dengan n variabel x1, x2, …, xn dan m persamaan

Sistem Persamaan Linier yang diperoleh pada jenjang Sekolah Menengah Atas sampai dengan Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel

Sedangkan Sistem Persamaan Linier yang diperoleh pada jenjang Sekolah Menengah Pertama hanya sampai dengan Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Pada jenjang Sekolah Dasar materi Sistem Persamaan Linier pada tingkat SD belum diperoleh siswa namun secara tidak langsung , Sistem Persamaan Linier pada tingkat sekolah dasar diperoleh siswa melalui materi penjumlahan, pengurangan, perkalian ataupun pembagian

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar

silahkan komentari blog aku... insya allah ntar aku balas...